Chapter1

自动控制概念

自动控制，是指在无人直接参与的情况下，利用控制装置（控制器）使被控对象(如生产过程中的位移、速度、温度，电力系统中电压、电流、功率等物理量或某些化合物的成分等)，依照预定的规律进行运动或变化。这种能对被控制对象的工作状态进行控制的系统称为自动控制系统。它一般由控制装置和被控对象组成。

开环控制系统：

闭环控制系统：

控制系统的组成和术语

为达到某一目的，由相互制约、相互联系的各个部件按照一定规律构成且具有独立功能的整体称为系统。
自动控制系统是由被控对象和自动控制装置按照一定方式连接起来，能完成一定自动控制任务的总体。
自动控制系统的被控制量称为系统输出量,影响系统输出量的外界输入称为系统的扰动输入量。
输入量分类：
给定输入（或称参考输入、希望值等）：指对系统输出量的要求值。
扰动输入：指对系统输出量有不利影响的输入量。
反馈：将检测出来的输出量送回到系统的输入端，并与输入信号比较的过程称为反馈。若反馈信号与输入信号相减，则称为负反馈；反之，若相加，则称为正反馈。
在控制器与被控对象之间存在反馈的系统叫做闭环控制系统；反之则叫做开环控制系统。
参考输入r：输入到控制系统的指令信号；
主反馈b：与输出成正比或成某种函数关系，但量纲与参考输入相同的信号；
偏差e：参考输入与主反馈之差的信号，偏差有时也称为误差；
控制环节Gc：接受偏差信号，通过转换与运算，产生控制量；
控制量u：控制环节的输出，作用于被控对象的信号；
扰动n：不希望的、影响输出的信号；
被控对象Go：它接受控制量并输出被控制量；
输出c：系统被控制量；
反馈环节H：将输出转换为主反馈信号的装置；
比较环节：相当于偏差检测器，它的输出量等于两输出量的代数和。箭头上的符号表示输入在此相加或相减。

控制系统的基本分类

线性和非线性系统

线性控制系统：若组成控制系统的元件都具有线性特性，则称这种系统为线性控制系统。线性系统的主要特点是具有齐次性和适用叠加原理。
非线性控制系统：在控制系统中，至少要一个元件具有非线性特性，则称该系统为非线性控制系统。非线性系统一般不具有齐次性，也不适用叠加原理，而且它的输出响应和稳定性与其初始态有很大关系。

恒值控制系统和随动系统

恒值控制系统：参考输入为常量，要求它的被控制量在任何扰动的作用下能尽快地恢复(或接近)到原有的稳态值。由于这类系统能自动地消除各种扰动对被控制量的影响，故它又名为自镇定系统。
随动系统：参考输入是一个变化的量，一般是随机的，要求系统的被控制量能快速、准确地跟踪参考输入信号的变化而变化。

连续控制系统和离散控制系统

连续控制系统：控制系统中各部分的信号若都是时间t的连续函数，则称这类系统为连续控制系统。
离散控制系统：在控制系统各部分的信号中只要有一个是时间t的离散信号，则称这种系统为离散控制系统。

对控制系统的基本要求

稳定性：稳定性是对控制系统最基本的要求。所谓系统稳定，一般指当系统受到扰动作用后，系统的被控制量偏离了原来的平衡状态，但当扰动撤离后，经过若干时间，系统若仍能返回到原来的平衡状态，则称系统是稳定的。
准确性：给定稳态误差和扰动稳态误差越小，表示稳态精度也越高。
快速性：控制系统不仅要稳定和并有较高的精度，而且还要求系统的响应具有一定的快速性，对于某些系统来说，这是一个十分重要的性能指标。有关系统响应速度定量的性能指标，一般可以用上升时间、调整时间和峰值时间来表示。

Chapter2

拉普拉斯变换

变换公式：$C(s)=L[c(t)]=\int_0^{\infty}c(t)e^{-st}dt$

常见函数的拉氏变换

单位阶跃函数：$c(t)=1(t)=\left \{\begin{matrix} 1,t\geqslant0\\ 0,t<0 \end{matrix} \right.$
拉氏变换：$C(s)=L[1(t)]=\int_0^\infty1(t)e^{-st}dt=-\dfrac1{s}e^{-st}\big|_0^{+\infty}=\dfrac1{s}$
单位脉冲函数：$c(t)=\delta(t)=\left \{\begin{matrix} 0,t\neq0\\ \infty,t=0 \end{matrix} \right.$
拉氏变换：$C(s)=L[\delta(t)]=\int_0^{+\infty}\delta(t)e^{-st}dt=1$
正弦函数：$c(t)=\left \{\begin{matrix} sin\omega t,t\geq0\\ 0,t<0 \end{matrix} \right.$
拉氏变换：$C(s)=L[sin\omega t\cdot1(t)]=\int_0^{+\infty}sin\omega t\cdot e^{-st}dt=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$

拉氏变换的重要性质

线性性质
若$\alpha$、$\beta$是任意实数，并且$L[c_1(t)]=C_1(s)$，$L[c_2(t)]=C_2(s)$，则有
$L[\alpha c_1(t)\pm\beta c_2(t)]=\alpha L[c_1(t)]\pm\beta L[c_2(t)]=\alpha C_1(s)\pm\beta C_2(s)$
$L^{-1}[\alpha C_1(s)\pm\beta C_2(s)]=\alpha L^{-1}[C_1(s)]\pm\beta L^{-1}[C_2(s)]=\alpha c_1(t)\pm\beta c_2(t)$
微分性质
若$L[c(t)]=C(s)$，则有$L[c’(t)]=sC(s)-c(0)$
同理，若$L[c(t)]=C(s)$，则有
$L[c^{(n)}(t)]=s^nC(s)-s^{n-1}c(0)-s^{n-2}c’(0)-\cdots-c^{n-1}(0)$
积分性质
若$L[c(t)]=C(s)$，则有$L[\int c(t)dt]=\dfrac1{s}C(s)+\dfrac1{s}c^{-1}(0)$
同理，$L[\int\cdots\int c(t)dt^n]=\dfrac1{s^n}C(s)+\dfrac1{s^n}c^{-1}(0)+\dfrac1{s^{n-1}}c^{-2}(0)+\cdots+\dfrac1{s}c^{-n}(0)$
位移性质
若$L[c(t)]=C(s)$，则有$L[e^{at}c(t)]=C(s\cdot a)$
延迟性质
若$L[c(t)]=C(s)$，且$t<0$时，$c(t)=0$，则对于任一实数$\tau>0$，有
$L[c(t-\tau)\cdot1(t-\tau)]=e^{-\tau s}C(s)$
$L^{-1}[e^{-\tau s}C(s)]=c(t-\tau)\cdot1(t-\tau)$
初值定理
若$L[c(t)]=C(s)$，且$\lim_{s\to\infty}sC(s)$存在，则有$\lim_{s\to0}c(t)=\lim_{s\to\infty}sC(s)$
终值定理
若$L[c(t)]=C(s)$，且$\lim_{s\to0}sC(s)$存在，则有$\lim_{s\to\infty}c(t)=\lim_{s\to0}sC(s)$
卷积定理
$L[c_1(t)*c_2(t)]=C_1(s)\cdot C_2(s)$
$L^{-1}[C_1(s)\cdot C_2(s)]=c_1(t)*c_2(t)$

拉氏反变换

$c(t)=L^{-1}[C(s)]=\dfrac1{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}C(s)e^{st}ds$

有理分式函数的拉普拉斯反变换

$C(s)=\dfrac{B(s)}{A(s)}=\dfrac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_m}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n}$

$A(s)=0$无重根
设$A(s)$可分解为：$A(s)=s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n=(s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)$，式中$s_1$，$s_2$，$\cdots$，$s_n$为$A(s)=0$的根，且各异，这时可将$A(s)$写成$n$个部分分式之和，每个分式的分母为$A(s)$的一个因式，即$C(s)=\sum_{i=1}^n\dfrac{c_i}{s-s_i}$，式中$c_i$为待定系数,，可由下式求出$c_i=\lim_{s\to s_i}C(s)=\lim_{s\to s_i}\dfrac{B(s)}{A(s)}(s-s_i)=\lim_{s\to s_i}\dfrac{B(s)}{\dfrac{A(s)-A(s_i)}{s-s_1}}=\dfrac{B(s)}{A'(s)}\big|_{s=s_i}$，当$c_i$确定之后,，每个分式的反变换可由拉氏变换表求取.，则总的反变换式为$L^{-1}[C(s)]=L^{-1}[\sum_{i=1}^n\dfrac{c_i}{s-s_i}]=\sum_{i=1}^nc_ie^{s_it}$
$A(s)=0$有$m$重根
设$m$个重实根为$s_1$，$s_2$，$\cdots$，$s_m$，单根为$s_{m+1}$，$s_{m+2}$，$\cdots$，则$C(s)$可展开成如下部分分式之和形式$C(s)=\dfrac{c_m}{{(s-s_1)}^m}+\dfrac{c_{m-1}}{{(s-s_1)}^{m-1}}+\cdots+\dfrac{c_1}{s-s_1}+\dfrac{c_{m+1}}{s-s_{m+1}}+\dfrac{c_{m+2}}{s-s_{m+2}}+\cdots+\dfrac{c_{n}}{s-s_{n}}$，式中$c_{m+1}$，$c_{m+2}$，$\cdots$，$c_{n}$为单根对应的部分分式的待定系数，可按无重根的情况计算，而$c_{m-j}=\dfrac1{j!}\lim_{s\to s_i}\dfrac{d^j}{ds^j}[(s-s_1)^mC(s)]$，求出各系数后，代入$C(s)$的部分分式表示式，再取反变换可得原函数 $c(t)=L^{-1}[C(s)]=L^{-1}[\dfrac{c_m}{{(s-s_1)}^m}+\dfrac{c_{m-1}}{{(s-s_1)}^{m-1}}+\cdots+\dfrac{c_1}{s-s_1}+\dfrac{c_{m+1}}{s-s_{m+1}}+\dfrac{c_{m+2}}{s-s_{m+2}}+\cdots+\dfrac{c_{n}}{s-s_{n}}]=[\dfrac{c_m}{(m-1)!}t^{m-1}+\dfrac{c_m}{(m-2)!}t^{m-2}+\cdots+c_1]+\sum_{i=m+1}^nc_ie^{s_1t}$

系统输入-输出的传递函数描述

线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。
微分方程与传递函数转变关系：
${a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y’+a_ny}={b_0x^{(m)}+b_1x^{(m-1)}+\cdots+b_{m-1}x’+b_mx}\to G(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n}$
用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型：
多项式形式：$G(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\cdots+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n}$
零极点增益形式：$G(s)=k\dfrac{(s+z_1)(s+z_2)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots(s+p_n)}$

典型环节函数的数学模型

比例环节：$G(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=K$
惯性环节：$G(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{K}{Ts+1}$
积分环节：$G(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{K}{s}$
微分环节：$G(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=Ts$
二阶环节：$G(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{K}{T^2s^2+s+1}$
延迟环节：$G(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s}$

用方块图表示的模型

指向方块的箭头表示输入，而从方块出来的箭头则表示输出。在这些箭头上标明了相应的信号。

$Y(s)=G(s)X(s)$

信号流程图与梅逊公式

信号流程图

信号流程图是由网络组成，网络中各节点用定向支线段连接。

梅逊公式

用梅逊公式可以直接求信号流图的传输，其表示为：$P=\dfrac1{\Delta}\sum_kP_k\Delta_k$

$P_k$表示第$k$条前向通道的通道增益或传输
$\Delta$表示流图的特征式，$\Delta=1-\sum_1L_a+\sum_2L_bL_c-\sum_3L_dL_eL_f+\cdots$$\sum_1L_a$表示所有不同回路的增益之和
$\sum_2L_bL_c$表示每两个互不接触回路增益乘积之和
$\sum_3L_dL_eL_f$表示每三个互不接触回路增益乘积之和
$\Delta_k$表示信号流图中除去与第$k$条前向通道$P_k$相接触的支路和节点后余下的信号流图的特征式，称为$P_k$的余因式

建立状态方程模型的一般步骤

确定输入变量、输出变量及状态变量(非惟一性！)
用微分方程表示各环节模型（包括线性化处理）
选择独立的状态变量，用一阶微分方程组的形式表达模型
整理成状态方程的标准形式
将输出变量表示为状态变量的线性组合，即输出方程